§ 7. Численное интегрирование

Численное интегрирование — это совокупность методов, которые позволяют вычислить определенный интеграл на компьютере. Иногда формулы, используемые в численном интегрировании, называют квадратурами.

Для того чтобы разобраться, как работают методы численного интегрирования, рассмотрим интеграл Римана

Здесь $x_i^*$ — произвольная точка на промежутке $\Delta x_i$, а выражение, предел которого мы вычисляем, называется суммой Римана. Методы численного интегрирования строятся на основе суммы Римана, то есть на основе конечной суммы и промежутков конечной длины, а подинтегральную функцию часто заменяют аппроксимацией с помощью полиномов.

Метод прямоугольников

Наиболее очевидным способом численного интегрирования является прямое вычисление суммы Римана: промежуток, на котором берется интеграл, разбивается на $n$ промежутков меньшего размера, и в середине каждого такого промежутка вычисляется значение подинтегральной функции. Сумма таких значений, домноженных на длину промежутка, аппроксимирует значение интеграла. Математически это записывается как

Выражение под знаком суммы является площадью прямоугольника. Размер каждого промежутка может быть разным.

Метод трапеций

Этот метод отличается от предыдущего тем, что на каждом промежутке функция аппроксимируется не одной точкой, а отрезком, соединяющим концы промежутка. Тогда выражение под знаком суммы является площадью трапеции. Математически это записывается как

Эта формула соответствует линейной интерполяции функции, заданной дискретно в точках $x_i$. Более точную аппроксимацию можно получить, если воспользоваться более точным методом интерполяции.

Формулы Ньютона—Котеса

В общем случае функция аппроксимируется на каждом промежутке полиномом степени $n$. Полином записывается в форме Лагранжа, а получившиеся формулы интегрирования называются формулами Ньютона—Котеса. В случае $n=2$ получается

В этом случае на каждом промежутке функция аппроксимируется полиномом второй степени (параболой), используя крайние точки и точку посередине. В случае $n=3$ получается

Оба случая именуются методом Симпсона и отличаются лишь степенью полинома. Эти формулы получаются путем подстановки полинома Лагранжа нужной степени в качестве подинтегральной функции и упрощения получившегося выражения с помощью правил интегрирования.

Квадратуры Гаусса

Квадратурой называется формула вычисления интеграла. Идея квадратур Гаусса состоит в том, чтобы найти такие абсциссы, взвешенная сумма значений функции в которых даст точное значение интеграла при степени полинома не превышающей $2n-1$:

Здесь $W(x)$ — весовая функция. Гаусс нашел такие абсциссы для функции, которую можно представить в виде полинома:

Здесь $a=-1$, $b=1$, $W(x)=1$, $w_i$ — веса, $x_i$ являются корнями полинома $P_n$, а $P_n$ — полином Лежандра степени $n$.

Формула кажется сложной, однако в реальных задачах степень полинома и промежуток фиксированы, а это означает, что можно воспользоваться готовой таблицей весов и абсцисс для этого полинома.

Подинтегральная функция может сильно осциллировать, из-за чего аппроксимация ее полиномом даст большую погрешность. В таких случаях используют квадратуры Гаусса с отличной от единицы весовой функцией (не путайте ее с весами из правой части). В таком случае формулы для весов из правой части будут отличаться, а также будет отличаться вид полинома и пределы интегрирования. Все это проще всего найти в справочнике.

🌊🌊🌊

Применение методов численного интегрирования в отрыве от других методов — это редкость: как правило, условия задачи диктуют размер элементов, на которые делится область определения интегрируемой функции, а сама функция задана дискретно в узловых точках этой области (вспомните формулу вычисления объема фигуры, заданной треугольными гранями). В такой ситуации ничего не остается, кроме как просуммировать значения функции в середине каждого элемента, домножив на его площадь или объем.

Популярность методы численного интегрирования завоевали благодаря тому, что решение обыкновенных дифференциальных уравнений записывается в виде интеграла, а обыкновенные дифференциальные уравнения используются для решения большого спектра задач. Об этих уравнениях пойдет речь в следующем разделе.

Задания

Полиномы1 балл

Реализуйте вещественнозначную функцию Оуэна с помощью формул Ньютона—Котеса для полиномов третьей степени по десяти точкам. Функция описана в следующем задании.

Квадратуры2 балла

Реализуйте вещественнозначную функцию Оуэна с помощью квадратуры Гаусса—Лежандра по десяти точкам. Веса можно найти в интернете. Функция имеет следующий вид.

Здесь $a$ — параметр. Не забудьте про пределы интегрирования. Проверить себя можно с помощью Wolfram Alpha.

Уравнение теплопроводности3 балла

Уравнение теплопроводности имеет аналитическое решение

где $T(x,0)$ — начальное распределение температуры, а $\alpha$ — коэффициент теплопроводности. Вычислите этот интеграл методом трапеций для случая стержня фиксированной длины, коэффициента теплопроводности отличного от нуля и нормального начального распределения температуры $T(x,0) = \exp\left(-x^2\right).$ Вычисления продолжайте до тех пор, пока температура не станет примерно одинаковой в каждой точке стержня.

Видео

Доска